nouvelle équation

[anas]

Ben voilà, histoire d'énerver Tarik, je propose une équation très difficile voire infaisable à notre niveau.
On m'a dit qu'on appellait ça une équation bicarrée :
puissance 4 et il n'y a ni développement ni factorisation ni simplification possible !! ( enfin je ne crois pas qu'il y en ait, à vous de voir )

Voilà l'équation:

(1+x)^4 + x^4 = 82

C'est la plu dur que j'ai vu cette année !!
Allez bonne chance à tous et puis pour vous stimuler dites vous qu'à force de chercher, on trouve !!

[kasamam]

Euh ^^ le bicarré jpense que c ax^4+bx^2+c=0 ... et là tu peux faire au^2+bu+c=0 avec u=x^2
ca ché pas trop c koi XD

Mais bon tkt jmy lance

[anas]

ouais ! Je crois que t'as pigé le truc ! Il faut essayer de ramener l'équation à au^4 + bu^2 + c = 0
et après le tour est joué
allez, je te laisse dans tes recherches

[IMehdi]

Je peux dire que...:
(x+1)⁴=x⁴+4x³+6x²+4x+1 Et Alors?
2x⁴+4x³+6x²+4x=81 Oùla je n'y comprend plus rien!!
4x³+6x²+4x=(9-√2x²)(9+√2x²) Alala! les racines.. Bon allez j'vais jouer puis je reviens.
Me revoilà!
x(4x²+6x+4)=(9-√2x²)(9+√2x²)

x(4x²+8x+4-2x)=(9-√2x²)(9+√2x²)
x(2x+2)²-2x²=(9-√2x²)(9+√2x²)
(√(2x√x+2√x)-√2x)(√(2x√x+2√x)+√2x)=(9-√2x²)(9+√2x²)

Je sais plus...

[kasamam]

t allé un peu loin la mehdi ^^... tu te complique la vie, je poste la réponse demain, la jvai dormir

[anas]

tu te souviens de ma première équation mehdi avec x^4 et x^2, tu l'as résolue avec un changement de variable en mettant U=x^2, et ben, là, c'est la même chose, il faut trouver U = quelque chose pour réussir à simplifier et la transformer sous la forme au^2 + bu + c = 0, en tout cas, moi c'est comme ça que j'ai fait et je crois que c'est la seule solution !!
Bonne chance à vous deux !!

Au fait, la plupart des calculatrices programmables ne peuvent pas résoudre ce genre d'équations !! Alors pas de triche possible !!

[kasamam]

euh di... ouach tu trouve des solutions un peu compliqué ? pske ana jtrouve des trucs un peu bizzare...

[anas]

oui, on trouve des trucs très compliqués !! racine de racine ...
allez vas-y poste ta réponse vite !!

[kasamam]

Alors, simpa mais fallait trouver le truc XD

on pose x = u-1/2 et tu va voir, le pti x^3 disparait comme par "enchantement" (g mis 2 jours pr le trouver ce putin de truc ... -_-)
(1+u-1/2)^4+(u-1/2)^4=82
2u^4+3u²-655/8 (ya au moins 5 lignes avant mais bon jvai pas m'étaler, le but c t de trouver le truc et c bon)

et la encore on pose z = u²

2z²+3z-655/8 = 0 et la bah tu devine, le tour est joué XD
Canonique :
2[(z+3/4)² - 673/32] = 0
(z+3/4+V673/32)(z+3/4-V673/32) = 0 (V = racine ^^)

z = (V(1346)-6)/8 (on exclu le résulta négatif puisque z = u² du moins a notre niveau )

u = V((V(1346)-6)/8 ) ou -V((V(1346)-6)/8 )
Donc x = V(2(V(1346)-6))/4 - 1/2 ou -V(2(V(1346)-6))/4 - 1/2

Voilou ^^ j'espère que j'ai juste :p et ke jme suis pas gourré dans certains calculs (les chiffres sont chiants...) et les solutions n'en parlons mm pas... et merci la calculette pr les simplifications chiantes

[kasamam]

OUps dsl... me suis trompé au milileu...

[kasamam]

bon joubli les V jvai écrire rac :
z = -3/4 + rac(166)/2 ou -3/4 - rac(166)/2

et donc u = rac[-3/4 + rac(166)/2] ou -rac[-3/4 + rac(166)/2]

et encore donc

x = u - 1/2 = rac[-3/4 + rac(166)/2] - 1/2 ou -rac[-3/4 + rac(166)/2] - 1/2

Voilou... dsl pr lautre truc jme suis gourré kan g tapé dans la calculette, et en plus plus bsoin de canonique daba je vien de pigé comment utiliser le discriminant

[kasamam]

Tu c tu maurai proposé (2+x)^4 + x^4 = 82 jte laurai faite en deux coup lol

tt ca a cause d'un pti 1... brèf , encore merci, elle été dur celle la (tjrs en attente de confirmation)

[IMehdi]

Joli comme raisonnement pour pouvoir ainsi supprimer le x^3 et le x mais ça ne donne pas le résultat de la calculette

[kasamam]

dans la calculette tu trouve 1.8858 ou -2.8858... écris les résultats que je donne dans la calculette et demande un arondi ^^

[kasamam]

bah anas ^^ jatt ta confirmation XD

[kasamam]

Bon bah pendant ce tps je propose la même equation avec une variante

(2+x)^4 + x^4 = 82

Bien plus simple et factorisable aussi simplement ! à vous de jouer...

[anas]

c bien ça kasamam, BRAVO
le truc c'est de trouver U = x - 1/2
Je m'attendais pas à ce que quelqu'un la trouve !!

JE TE FELICITE

[IMehdi]

Soit m .
Alors soit m un réel tel que:
m=x+1
(m+1)⁴+(m-1)⁴=82
m⁴+4m³+6m²+4m+1+m⁴-4m³+6m²-4m+1=82
2m⁴+12m²+2=82
m⁴+6m²+9-7=41
(m²+3)2-48=0
(m²+3+√48.)(m²+3-√48.)=0

Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul:
m²+3+√48=0 ___ou___m²+3-√48=0
m²=-3-4√3(IMPOSSIBLE) ___ou___m2=4√3-3
m=√(4√3-3) ou m=-√(4√3-3)
d'ou x=√(4√3-3)-1 ou x=-√(4√3-3)-1
S={√(4√3-3)-1 ;-√(4√3-3)-1}
Merci kasamine, merci Anas! J'ai appris un truc!

[kasamam]

euh mehdi ^^, Je suis pas sur que ce soit ca XD
ta pas bsoin d'utiliser un changement de variable
Faut ke tu trouve une factorisation simple...
Je ten di pas plus

[anas]

tu as essayé d'utiliser la meme technique qu'avant !!! lol dommage !!
kasamam, stp, tu peux au moins me dire si la reponse est très simple ou bien un peu compliquée ??
si je peux je poste la réponse demain, et si j'ai pas le temps, je la posterai surement dimanche soir !!

[kasamam]

a bah Merci Anas J'avoue que dik le chagement de variable ma banlich rapidement puisque finalement ca parait évident qu'il faille une équation du type : (x-a)^4+(x+a)^4=b pour enlever dic le x^3...
Brèf, bravo à toi aussi, faut dire que c toi qui la posé et donc ki la résolue en premier

[kasamam]

euh la réponse est très simple...
ta deux entiers à mettre...

[kasamam]

mais on verra plus tard (en terminale peut ètre ) qu'il ya en fait 4 réponse... mais bon restons dans les réelles XD

[kasamam]

Une tite paranthèse tu peux mappeler Amine XD

[anas]

salut Amine !!
Voilà, je crois que j'ai trouvé la solution de ton équation !!
Le problème c'est que j'ai utilisé un théorème qu'on apprend en première !! Donc je sais l'utiliser mais je ne sais pas le démontrer !! Bref voilà :

(2+x)^4 + x^4 = 82
[(2+x)^4 - 9^2] + [x^4 - 1^2] = 0

Je saute les étapes de factorisation par l'identité a²-b² = (a+b)(a-b)
Ca donne

(x-1)(x+5)[(2+x)^2+9] + (x^2+1)(x+1)(x-1) =0
(x-1) { (x+5)[(2+x)^2+9] + (x^2+1)(x+1) } = 0

Je développe tout dans la seconde parenthèse, ce qui donne,

(x-1)(2x^3+10x^2+34x+66)=0
2(x-1)(x^3+5x^2+17x+33)=0

A partir de maintenant, suis bien,
Je vais diviser le tout par l'intermédaire d'une division euclidienne du genre (x+3)
ce qui me donne la formule:

(x+3)(ax^2+bx+c) =0
Je développe
ax^3+bx^2+cx+3ax^2+3bx+3c =0
ax^3 + (3a+b)x^2 + (3b+c)x + 3c =0

J'en déduis en regardant la première équation x^3+5x^2+17x+33 que
a =1
3a+b=5
3b+c=17
3c=33

ce qui mène a
a=1
b=2
c=11


donc la factorisation est (x+3)(x^2+2x+11)

Et l'équation de départ se résume par (x-1)(x+3)(x^2+2x+11) =0

x=1 ou x= -3 et x^2+2x+11 a pour solution ensemble vide ( du moins dans R, comme tu as dit )

DONC S={1; -3 }

C'est la seule facon de faire que j'ai trouvé, mais je suis sûr que toi, tu as trouve quelque chose de bcp + simple !! J'attends d'abord ta confirmation Amine, et puis ensuite, dis moi comment toi tu as trouvé !!
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